in Algorithm

二叉堆计算动态中位数

要求

最近在刷算法,遇到一个有意思的题,要求如下:

设计一个数据结构,可随时插入节点,且随时查询节点集合的中位数,要求插入节点的时间复杂度为 O(logN),查询中位数的时间复杂度为 O(1)。

中位数定义:节点个数为奇数个时,为有序情况下集合的中间节点;偶数时,为中间两节点的平均值。

分析

求中位数,直觉的做法是先排序,然后根据数组的长度算出中位数,根据算法不同时间复杂度从 O(n) ~ O(NlogN) 不等。但这只适用于元素数目不变的情况,对可动态添加节点的情况,需要做到:

  1. 在插入时便进行重排序,时间复杂度为 O(logN)
  2. 不论节点个数奇偶,查中位数时间复杂度都为 O(1)

对于 第1点二叉堆 是一个不错的选择,它拥有如下性质:

  • 父节点的键值总是保持固定的序关系于任何一个子节点的键值,且每个节点的左子树和右子树都是一个二叉堆。
  • 插入节点时间复杂度为 O(logN)
  • 获取根结点时间复杂度为 O(1)
  • 以数组形式存储结点,如果下标基于0,则:
    • 结点 i 的子结点位置为 i*2 + 1与 i*2 + 2
    • 反推可知,结点 i 的父节点位置为 (i – 1) / 2。

对于 第2点,可构造两个二叉堆,就可以 O(1) 复杂度查出中位数:

一个最大堆

一个最小堆

最大堆存放所有比中位数小的节点,最小堆存放所有比中位数大的节点,插入节点时动态平衡这两个二叉堆,以保证中位数总是出自这两个堆的根结点(或其一)。

思路

  1. 实现基础数据结构堆(Heap),提供如下功能:
    • 以数组形式存储结点;
    • 构造时传入 less 方法,以确定堆的性质:父和子谁大(最大/最小堆?);
    • 提供 Len 方法:查询结点个数;
    • 提供 Peak 方法:查询根结点;
    • 提供 Insert 方法:在数组尾端插入结点,然后自下而上调整子结点与父结点:使用传入的 less 方法比较子结点,当 less(parent, child) 不为真时,进行交换——这一操作时间复杂度为 O(logN);
    • 提供 Remove 方法:删除并返回根结点,然后自上而下调整父节点与它的子节点;
    • 以上任一操作结束后,堆性质不变,即根结点永远是最接近中位数的。
  2. 基于堆实现构造数据结构 DynamicMedian,包含最大堆和最小堆,提供如下功能:
    • 提供 Len 方法:查询最大最小堆中所有的结点个数;
    • 提供 Median 方法:查询中位数,且:
      • 结点个数为偶数时,为中间两节点的平均值;
      • 结点个数为奇数时,最大堆数目多,则中位数为最大堆根结点;
      • 结点个数为奇数时,最小堆数目多,则中位数为最小堆根结点。
    • 提供 Insert 方法:
      • 堆都为空,插入到最小堆;
      • 插入结点大于等于中位数时,插入最小堆;插入结点小于中位数时,插入最大堆——如此时结点数为偶数且两个堆结点数不一致,重新平衡大小堆

实现

算法实现使用的 go 语言,堆的实现参考了标准库 “container/heap” ,自己把轮子再造一遍只是为了加深理解,没有深意 🙂

代码结构:

堆的实现:

动态中位数:

单元测试:

ginkgo 是从 codewars 借鉴来的,BDD 风格很合胃口就用了,具体用法请参考官网,这里只放用例:

在 heap_test 目录下运行 ginkgo 命令,将得到校验结果 :

 

引用

  1. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%8F%89%E5%A0%86
  2. http://bubkoo.com/2014/01/14/sort-algorithm/heap-sort/
  3. https://stackoverflow.com/questions/15319561/how-to-implement-a-median-heap
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